Os matemáticos quebram o problema de 125 anos, unem três teorias da física
Um avanço no sexto problema de Hilbert é um grande passo no fundamento da física em matemática
Os matemáticos sugerem que descobriram como unificar três teorias físicas que explicam o movimento dos fluidos.
Quando o maior matemático vivo revela uma visão para o próximo século de pesquisa, o mundo da matemática toma nota. Foi exatamente o que aconteceu em 1900 no Congresso Internacional de Matemáticos da Universidade de Sorbonne, em Paris. O lendário matemático David Hilbert apresentou 10 problemas não resolvidos como guia ambiciosos para o século XX. Mais tarde, ele expandiu sua lista para incluir 23 problemas, e sua influência no pensamento matemático nos últimos 125 anos não pode ser exagerado.
O sexto problema de Hilbert foi um dos mais altos. Ele pediu a física “axiomatizante” ou a determinação do mínimo de suposições matemáticas por trás de todas as suas teorias. Amplamente interpretado, não está claro que os físicos matemáticos jamais pudessem saber se haviam resolvido esse desafio. Hilbert mencionou alguns subgesiais específicos, no entanto, e os pesquisadores refinaram sua visão em passos concretos em direção à sua solução.
Em março, os matemáticos Yu Deng da Universidade de Chicago e Zaher Hani e Xiao Ma da Universidade de Michigan postaram um Novo papel para o servidor pré -impressão arxiv.org, que afirma ter quebrado um desses objetivos. Se o trabalho deles suportar o escrutínio, marcará um grande passo em direção à física em matemática e poderá abrir a porta para avanços análogos em outras áreas da física.
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No artigo, os pesquisadores sugerem que descobriram como unificar três teorias físicas que explicam o movimento dos fluidos. Essas teorias governam uma série de aplicações de engenharia, desde o design da aeronave até a previsão do tempo – mas até agora, elas repousavam em suposições que não haviam sido rigorosamente comprovadas. Esse avanço não mudará as teorias, mas as justifica matematicamente e fortalece nossa confiança de que as equações funcionam da maneira que pensamos que elas fazem.
Cada teoria difere no quanto ela aumenta um líquido ou gás fluido. No nível microscópico, os líquidos são compostos de partículas – bolas de bilhar de bilhar, que estão colidindo ocasionalmente – e as leis de movimento de Newton funcionam bem para descrever suas trajetórias.
Mas quando você aumenta o zoom para considerar o comportamento coletivo de um grande número de partículas, o chamado nível mesoscópico, não é mais conveniente modelar cada um individualmente. Em 1872 O físico teórico austríaco Ludwig Boltzmann abordou isso quando desenvolveu o que ficou conhecido como a equação de Boltzmann. Em vez de rastrear o comportamento de cada partícula, a equação considera o provável comportamento de a típico partícula. Essa perspectiva estatística suaviza os detalhes de baixo nível em favor de tendências de nível superior. A equação permite que os físicos calculem como quantidades como momento e condutividade térmica no fluido evoluem sem considerar meticulosamente todas as colisões microscópicas.
Amplie ainda mais, e você se encontra no mundo macroscópico. Aqui vemos fluidos não como uma coleção de partículas discretas, mas como uma única substância contínua. Nesse nível de análise, um conjunto diferente de equações-as equações de Euler e Navier-Stokes-descreve corretamente como os fluidos se movem e como suas propriedades físicas se inter-relacionam sem recorrer às partículas.
Os três níveis de análise descrevem a mesma realidade subjacente – como fluidos fluem. Em princípio, cada teoria deve se basear na teoria abaixo dela na hierarquia: as equações de Euler e Navier-Stokes no nível macroscópico devem seguir logicamente da equação de Boltzmann no nível mesoscópico, que por sua vez deve seguir logicamente das leis de moção de Newton no nível microscópico. Esse é o tipo de “axiomatização” que Hilbert pediu em seu sexto problema, e ele referenciou explicitamente o trabalho de Boltzmann sobre gases em sua redação do problema. Esperamos que as teorias completas da física sigam regras matemáticas que explicam o fenômeno dos níveis microscópicos para os macroscópicos. Se os cientistas não conseguem preencher essa lacuna, isso pode sugerir um mal -entendido em nossas teorias existentes.
A unificação das três perspectivas sobre a dinâmica de fluidos representou um desafio teimoso para o campo, mas Deng, Hani e MA podem ter acabado de fazer isso. Sua conquista se baseia em décadas de progresso incremental. Os avanços anteriores vieram com algum tipo de asterisco; Por exemplo, as derivações envolvidas funcionaram apenas em escalas de tempo curtas, no vácuo ou em outras condições simplificadoras.
A nova prova consiste amplamente em três etapas: derivar a teoria macroscópica do mesoscópico; derivar a teoria mesoscópica do microscópico; e depois coloque -os em uma única derivação das leis macroscópicas dos microscópicos.
O primeiro passo foi entendido anteriormente, e até o próprio Hilbert contribuiu para ele. Derivar o mesoscópico do microscópico, por outro lado, tem sido muito mais desafiador matematicamente. Lembre -se de que a configuração mesoscópica é sobre o comportamento coletivo de um grande número de partículas. Então Deng, Hani e Ma analisaram o que acontece com as equações de Newton à medida que o número de partículas individuais colidindo e ricocheter cresce para o infinito e seu tamanho diminui para zero. Eles provaram que, quando você estica as equações de Newton a esses extremos, o comportamento estatístico do sistema – ou o comportamento provável de uma partícula “típica” no fluido – converge para a solução da equação de Boltzmann. Esta etapa forma uma ponte derivando a matemática mesoscópica do comportamento extremal da matemática microscópica.
O principal obstáculo nesta etapa dizia respeito ao tempo que as equações estavam modelando. Já se sabia como derivar a equação de Boltzmann das leis de Newton em escalas de tempo muito curtas, mas isso não é suficiente para o programa de Hilbert, porque os fluidos do mundo real podem fluir para qualquer período de tempo. Com as escalas de tempo mais longas, surgem mais complexidade: mais colisões ocorrem e toda a história das interações de uma partícula pode suportar seu comportamento atual. Os autores superaram isso fazendo uma contabilidade cuidadosa de quanto a história de uma partícula afeta seu presente e alavancando novas técnicas matemáticas para argumentar que os efeitos cumulativos de colisões anteriores permanecem pequenas.
Colar junto seu avanço de longa escala com o trabalho anterior sobre como derivar as equações de Euler e Navier-Stokes da equação de Boltzmann unifica três teorias da dinâmica de fluidos. A descoberta justifica ter perspectivas diferentes sobre fluidos com base no que é mais útil no contexto, porque matematicamente eles convergem em uma teoria final que descreve uma realidade. Supondo que a prova esteja correta, ela quebra um novo terreno no programa de Hilbert. Só podemos esperar que, com apenas abordagens tão novas, a barragem exploda nos desafios de Hilbert e mais física fluirá a jusante.