Os matemáticos resolvem o dilema multidimensional de fatia de frutas
Uma conjectura de 40 anos nas seções transversais de Shapes está finalmente comprovada
Em 1986, o matemático belga Jean Bourgain fez uma pergunta aparentemente simples que continuou a confundir os pesquisadores por décadas. Não importa como você se deforme uma forma convexa – conside que molda uma bola de barro em uma melancia, uma futebol ou um macarrão longo – você sempre poderá cortar uma seção transversal maior que um certo tamanho? Um artigo de Bo’az Klartag, do Weizmann Institute of Science, em Rehovot, Israel, e Joseph Lehec, da Universidade de Poitiers, na França, publicado no site de pré -impressão Arxiv.org, finalmente forneceu uma resposta definitiva: Sim.
O problema de corte de Bourgain pergunta se toda forma convexa em n As dimensões têm uma “fatia” de modo que a seção transversal seja maior que algum valor fixo. Para objetos tridimensionais, é como perguntar se um abacate de um determinado tamanho, independentemente da forma exata, sempre pode ser dividida em duas metades com cada lado revelando pelo menos alguma fatia considerável. Diz -se que Bourgain, um titã de matemática, passou mais tempo nesse problema do que qualquer outro; Embora possa parecer enganosamente fácil de resolver nas duas ou três dimensões do mundo físico, ele rapidamente balança em dificuldade quando consideramos quatro ou cinco. Essa complexidade adicional torna a determinação qualquer coisa em n-O espaço dimensional parece impossível. “Se você acredita nessa chamada maldição de dimensionalidade, pode desistir”, diz Klartag. Felizmente, ele acrescenta, ele e Lehec “pertencem a uma escola de pensamento diferente”.
O avanço do par se baseia no progresso recente do matemático Qingyang Guan, da Academia Chinesa de Ciências, que abordou o problema com uma técnica baseada em física e não em geometria. Especificamente, Guan mostrou que modelar como o calor se difunde de uma forma convexa pode revelar estruturas geométricas ocultas. Os pesquisadores podem calcular o preenchimento de qualquer forma convexa com gás quente e observar cuidadosamente a dissipação do calor de acordo com as leis físicas. O insight principal de Guan – um limite preciso para a rapidez com que a taxa de dissipação muda durante esse processo de aquecimento – forneceu exatamente o que Klartag e o lehec precisavam. “A Guan está ligada amarrada a todos os outros fatos importantes” conhecidos pelo problema, diz o matemático Beatrice-Helen Vritsiou, da Universidade de Alberta.
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O resultado permite que Klartag e Lehec resolvam o problema em apenas alguns dias. Klartag observa que “teve sorte porque sabíamos (o resultado de Guan) era exatamente uma das coisas que precisávamos” para conectar várias abordagens aparentemente díspares ao quebra -cabeça. Com esta peça final no lugar, a geometria dos corpos convexos em altas dimensões é agora um pouco menos misteriosa – embora, como sempre em matemática, cada nova fatia revela mais perguntas para explorar.