Durante séculos, os números primos capturaram a imaginação dos matemáticos, que continuam procurando novos padrões que ajudam a identificá -los e a maneira como eles são distribuídos entre outros números. Os primos são números inteiros maiores que 1 e são divisíveis por apenas 1 e por si mesmos. Os três menores números primos são 2, 3 e 5. É fácil descobrir se pequenos números são primos – basta verificar quais números podem fatorá -los. Quando os matemáticos consideram grandes números, no entanto, a tarefa de discernir quais são os principais cogumelos rapidamente em dificuldade. Embora possa ser prático verificar se, digamos, os números 10 ou 1.000 têm mais de dois fatores, essa estratégia é desfavorável ou até insustentável para verificar se os números gigantescos são primos ou compostos. Por exemplo, o maior número primo conhecido, que tem 2 pontos de 2 pontos, tem 41.024.320 dígitos. A princípio, esse número pode parecer um pouco enlatado. Dado que existem infinitamente muitos números inteiros positivos de todos os tamanhos diferentes, no entanto, esse número é minúsculo em comparação com primos ainda maiores.
Além disso, os matemáticos querem fazer mais do que apenas tediosamente tentam faturar os números um por um para determinar se algum número inteiro é privilegiado. “Estamos interessados nos números primos, porque existem infinitamente muitos deles, mas é muito difícil identificar qualquer padrão neles”, diz Ken Ono, matemático da Universidade da Virgínia. Ainda assim, um objetivo principal é determinar como os números primos são distribuídos em conjuntos maiores de números.
Recentemente, Ono e dois de seus colegas-William Craig, matemático da Academia Naval dos EUA, e Jan-Willem Van Ittersum, matemático da Universidade de Colônia na Alemanha-identificaram uma nova abordagem para encontrar números primos. “Descrevemos infinitamente muitos tipos novos de critérios para determinar exatamente o conjunto de números primos, todos muito diferentes de ‘Se você não puder levar em consideração, deve ser primo'”, diz Ono. Ele e seus colegas de seus colegas, publicados no Anais da Academia Nacional de Ciências EUAAssim, foi vice-campeão de um prêmio de ciência física que reconhece a excelência científica e a originalidade. Em certo sentido, a descoberta oferece um número infinito de novas definições para o que significa para que os números sejam notas primordiais.
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No centro da estratégia da equipe está uma noção chamada Partições Inteiros. “A teoria das partições é muito antiga”, diz Ono. Ele remonta ao matemático suíço do século 18 Leonhard Euler, e continuou sendo expandido e refinado pelos matemáticos ao longo do tempo. “Partições, à primeira vista, parecem ser as coisas da brincadeira”, diz Ono. “De quantas maneiras você pode adicionar números para obter outros números?” Por exemplo, o número 5 possui sete partições: 4 + 1, 3 + 2, 3 + 1 + 1, 2 + 2 + 1, 2 + 1 + 1 + 1 e 1 + 1 + 1 + 1 + 1.
No entanto, o conceito acaba sendo poderoso como uma chave oculta que desbloqueia novas maneiras de detectar primos. “É notável que um objeto combinatório tão clássico – a função de partição – pode ser usado para detectar primos dessa maneira nova”, diz Kathrin Bringmann, matemático da Universidade de Colônia. (Bringmann já trabalhou com Ono e Craig antes, e atualmente é consultora de pós -doutorado de Van Ittersum, mas ela não estava envolvida com esta pesquisa.) Ono observa que a idéia para essa abordagem se originou em uma pergunta colocada por um de seus ex -alunos, Robert Schneider, que agora é um matemático da Universidade Tecnológica de Michigan.
Ono, Craig e Van Ittersum provaram que os números primos são as soluções de um número infinito de um tipo específico de equação polinomial nas funções de partição. Nomeadas equações da diofantina após o matemático do terceiro século Diophantus de Alexandria (e estudados muito antes dele), essas expressões podem ter soluções inteiras ou racionais (o que significa que elas podem ser escritas como uma fração). Em outras palavras, a descoberta mostra que “partições inteiras detectam os primos de infinitamente muitas maneiras naturais”, escreveram os pesquisadores em seus Pnas papel.
George Andrews, matemático da Universidade Estadual da Pensilvânia, que editou o Pnas Artigo, mas não estava envolvido com a pesquisa, descreve a descoberta como “algo que é novo” e “não é algo que prevê”, dificultando a previsão de “onde levará”.
A descoberta vai além de investigar a distribuição de números primos. “Na verdade, estamos pregando todos os números primos no nariz”, diz Ono. Neste método, você pode conectar um número inteiro que é 2 ou maior em equações específicas e, se elas forem verdadeiras, o número inteiro é o Prime. Uma dessas equações é (3n3 – 13n2 + 18n – 8)M1(n) + (12n2 – 120n + 212)M2(n) – 960M3(n) = 0, onde M1(n), M2(n) e M3(n) são funções de partição bem estudadas. “Mais geralmente”, para um tipo específico de função de partição, “provamos que existem infinitamente muitas equações de detecção principal com coeficientes constantes”, escreveram os pesquisadores em seus Pnas papel. Simplificando, “é quase como se o nosso trabalho lhe desse infinitamente muitas novas definições para o Prime”, diz Ono. “Isso é meio que alucinante.”
As descobertas da equipe podem levar a muitas novas descobertas, Bringmann Notes. “Além de seu interesse matemático intrínseco, este trabalho pode inspirar mais investigações sobre as surpreendentes propriedades algébricas ou analíticas ocultas nas funções combinatórias”, diz ela. Na combinatória – a matemática da contagem – as funções de combinamento são usadas para descrever o número de maneiras pelas quais os itens nos conjuntos podem ser escolhidos ou organizados. “Mais amplamente, mostra a riqueza das conexões em matemática”, acrescenta ela. “Esses tipos de resultados geralmente estimulam novos pensamentos nos subcampos”.
Bringmann sugere algumas maneiras potenciais que os matemáticos podem desenvolver na pesquisa. Por exemplo, eles poderiam explorar quais outros tipos de estruturas matemáticas podem ser encontradas usando funções de partição ou procurar maneiras pelas quais o principal resultado poderia ser expandido para estudar diferentes tipos de números. “Existem generalizações do resultado principal para outras seqüências, como números compostos ou valores de funções aritméticas?” Ela pergunta.
“Ken Ono é, na minha opinião, um dos matemáticos mais emocionantes do que hoje”, diz Andrews. “Esta não é a primeira vez que ele vê em um problema clássico e traz coisas realmente novas à tona”.
Ainda existe um excesso de perguntas em aberto sobre números primos, muitos dos quais são de longa data. Dois exemplos são a conjectura Twin Prime e a conjectura de Goldbach. A conjectura principal gêmea afirma que existem infinitamente muitos números primos gêmeos – números primários que são separados por um valor de dois. Os números 5 e 7 são primos gêmeos, assim como 11 e 13 anos. A conjectura de Goldbach afirma que “todo número uniforme maior que 2 é uma soma de dois primos de pelo menos uma maneira”, diz Ono. Mas ninguém provou que essa conjectura seja verdadeira.
“Problemas como esse confundiram matemáticos e teóricos do número por gerações, quase durante toda a história da teoria dos números”, diz Ono. Embora a descoberta recente de sua equipe não resolva esses problemas, ele diz, é um exemplo profundo de como os matemáticos estão ultrapassando os limites para entender melhor a natureza misteriosa dos números primos.